Как я могу выполнить тест с обратной связью?

Ваши первоначальные сообщения об ошибках не имеют смысла в том, что вы показываете для вашего cron, который запускает ваш logrotate.

rotating pattern: /home/mail3/log/popMailProcessing.log  forced from command line (60 rotations)
empty log files are rotated, old logs are removed
considering log /home//log/popMailProcessing.log
error: stat of /home/mail3/log/popMailProcessing.log failed: Permission denied

Что делают эти пути, идущие к /home/mail3/log/*? Также что отсутствует в строке /home//log/popMailProcessing.log? Похоже, что в своем вопросе вы показываете только часть реальной ситуации.

Отладка проблемы

Поместите эту строку в сценарий оболочки, logrotate.sh:

#!/bin/bash
/usr/sbin/logrotate -f -v /etc/logrotate.d/mail3-logs &>> /var/log/logrotate/rotate.log

Сделайте его исполняемым и запустите из cron:

03 00 * * * root strace -s 2000 -o /tmp/strace.log /path/to/logrotate.bash

Просматривая вывод, вы должны увидеть, что сбивается из-за проблем с разрешениями.

EDIT #1

После разговора с ОП он упомянул, что вышеупомянутая техника отладки показала, что SELinux был включен. Он был в недоумении, почему это так, ведь ранее он отключил его командой setenforce 0.

Отключение SELinux таким образом будет оставаться в этом состоянии только до следующей перезагрузки. Режим по умолчанию для SELinux диктуется этим файлом в Fedora/CentOS:

$ cat /etc/sysconfig/selinux
# This file controls the state of SELinux on the system.
# SELINUX= can take one of these three values:
#   enforcing - SELinux security policy is enforced.
#   permissive - SELinux prints warnings instead of enforcing.
#   disabled - SELinux is fully disabled.
SELINUX=disabled
# SELINUXTYPE= type of policy in use. Possible values are:
#   targeted - Only targeted network daemons are protected.
#   strict - Full SELinux protection.
SELINUXTYPE=targeted

Чтобы навсегда отключить SELinux, вам нужно изменить строку SELINUX=.... в одно из трех состояний, enforcing, permissive, disabled.

Однако я бы посоветовал вам потратить время на то, чтобы понять, почему SELinux запрещает доступ к директории, в которой находятся эти файлы журналов, и добавить соответствующий контекст, чтобы SELinux разрешил этот доступ. SELinux является важной частью многоуровневой модели безопасности, которая поддерживается в дистрибутивах Linux, использующих эту систему, и слепое отключение этой системы лишает ее одного из критически важных уровней.

References

• 45.2.7. Включение и отключение SELinux - руководство пользователя CentOS 5
• 5.4. Enabling and Disabling SELinux - Red Hat 6 user's guide