Как я проверяю Полномочия Корневой папки (/Папка, не / корень)?

Я предполагаю, что Вы хотите переименовать файл, а также переместить его.

Используя мой исходный сценарий как основа, измените эту часть сценария:

if [ "$NumFolders" -eq 1 ] ; then 
  mv "$ParentFolder/$FileToMove" "$TargetFolder/" 
else

к чему-то вроде этого:

if [ "$NumFolders" -eq 1 ] ; then
  NewFileName=$(echo "$FileToMove" | sed -E -e 's/_zz[0-9]+\././')
  mv "$ParentFolder/$FileToMove" "$TargetFolder/$NewFileName" 
else

Переводя regex в подробный английский язык, sed сценарий здесь заменяет "первое вхождение во входной строке '_zz сопровождаемый одной или несколькими цифрами, сопровождаемыми литеральной точкой'" только с точкой.

т.е. как ответ Ben это не сделает правильной вещи с файлом, который имеет два или больше '_zz20...' последовательности в нем. Достаточно легкий заменить его regexp Birei (кроме избавляются от слова 'пустой указатель' между \1 и \2, это заменит его литеральной строкой 'пустой указатель'):

NewFileName=$(echo "$FileToMove" | sed -E -e 's/^(.*)zz[0-9]+(\.pdf)$/\1\2/')

BTW, это, возможно, было сделано с одной строкой и без временной переменной ($NewFileName), но легче понять этот путь.