Используйте правило фильтра для перенаправления _и_ удалить из syslogd

-s без команды запускает интерактивную оболочку, поэтому вы больше не будете в той же оболочке, что и сценарий.

Подробнее см. man sudo .

Это должно сработать:

#!/bin/bash
example()
{

    echo "Code that don't need sudo."
    sudo -s echo "Code that need sudo"
 }

example