Просто измените | (труба ) к || (an или ) (при условии, что скрипт правильно использует коды выхода), хотя лучше изменить скрипт так, чтобы он выводил только при ошибке, и это лучше:
MAILFROM=myemail@something.com
MAILTO=myemail@something.com
20 6-10 * * 1-5 ~/job_failure_test.sh
Уродливый способ;
20 6-10 * * 1-5 ~/job_failure_test.sh > ~/job_fail.log 2>&1 || mail -s "Errors" myemail@something.com < ~/job_fail.log