как изменить путь установки WINE по умолчанию?

Во-первых, после sleep 1:не нужно.

Во-вторых, если временный файл вам не нужен по другим причинам, вы можете просто использовать dateтам, где он нужен. Таким образом, этот сценарий можно сократить так:

#!/bin/bash
while true; do
    if curl -fI "given.website.com" 1>& /dev/null; then
        sleep 1
    else
        date | mutt -s "Website Down!!!" user@email.com
        sleep 10
    fi
done