Почему смена пароля учетной записи пользователя занимает много времени?

How long do I need to wait to ensure that the password has changed?

Нет, этого не должно происходить, что-то не так с вашей системой. Смена пароля должна быть мгновенной. Просмотр журналов journalctlможет помочь вам понять, что происходит.

What will happen if I reboot the system while the GUI is still showing the spinning circle?

Если это уже заняло так много времени, я почти уверен, что какой-то компонент истек по тайм-ауту/завис, и ничего страшного не произойдет, если вы перезагрузите компьютер.

I try to change passwords every so often. How do I speed up the process the next time?

Сделайте это из консоли с помощью passwd.