rysnc любой файл, в имени которого есть «_custom.conf» или просто «_custom»

Вы можете написать

nohup bash -c 'mosquitto_sub -v -u Test -P Test123 -t "#" | while read -r line ; do
        echo -e "$(date "+%Y-%m-%d %H:%M:%S") $line"
done | tee -a MQTT.txt'

Однако на самом деле вам нужно screenили tmux. Эта программа позволит вам запустить команду, выйти из системы и после входа в систему просто подключиться к старому «уже закрытому» терминалу.

Очень простой сеанс экрана в вашем примере будет выглядеть так:

screen

mosquitto_sub -v -u Test -P Test123 -t '#' | while read -r line ; do
    echo -e "$(date "+%Y-%m-%d %H:%M:%S") $line"
done | tee -a MQTT.txt

# Hit "Ctrl-a d", it will detach the screen

Теперь вы можете закрыть терминал и выйти из системы, после входа снова запустить screen -R.