Я решил протестировать lightdm и неожиданно получил много нового софта, который мне не нужен в тире... Как их удалить?

Порядок перенаправления работает иначе.

Порядок перенаправления определяет только порядок действий оболочки с описанием файла, а не с его содержимым.

В:

./errorandoutput.sh >file 2>&1

Сначала оболочка перенаправляет стандартный вывод на file, затем перенаправляет стандартную ошибку на стандартный вывод, который теперь указывает на file, так что и стандартный вывод, и стандартная ошибка теперь переходят к file.

На этом этапе выполняется оболочка с перенаправлением. К содержимому файла fileэто не имеет никакого отношения.

Порядок содержимого в fileопределяется порядком выполнения команд внутри скрипта. Измените свой скрипт на:

#!/bin/bash

ls dflj
echo myecho

и вы бы получили то, что хотели.