РЕДАКТИРОВАТЬ:
Я проводил некоторые тесты если вы запустите такую команду, вы получите локальный вывод
ssh yourserver < ./your_script.sh > your_script.stdout
КОНЕЦ РЕДАКТИРОВАНИЯ
С моей точки зрения, у вас есть два варианта.
Вариант 1
После запуска script.sh на каждом сервере и записи вывода команды в /var/tmp/filename_output.txt на удаленном сервере
scp /var/tmp/filename_output.txt myserver:/prefered_location/server_name.log
rm /var/tmp/filename_output.txt
Вариант 2
Экспорт NFS с вашего сервера и импорт на каждом сервере в вашей сети, таким образом вы можете иметь локальную FS на каждом другом сервере, указывающую на основной, и ваши проблемы решаются путем помещения вывода команды в файл внутри FS, указывающий на NFS.
Если вам нужна инструкция, как экспортировать NFS и импортировать ее на клиентские машины, дайте мне знать