Ваша sudoers строка корректна в этом, она только позволяет www-данным выполнять одну команду как корень. php синтаксис выглядит главным образом корректным (Вы проверяете $num, чтобы удостовериться, что это - число? разные символы могут нанести реальный ущерб здесь. см. http://us3.php.net/manual/en/function.escapeshellcmd.php), две вещи, которые Вы не упоминали, был, какие апачские mpm - Вы использование и являются Вами работающий php в безопасном режиме. shell_exec не работает в безопасном режиме, и он использует ветвление, которое не может работать со всем mpm's. Я рекомендовал бы использовать предварительное ветвление mpm.
Когда я запустил Motion на своем Raspberry Pi, я обнаружил, что домашний каталог для движения был
/var/lib/motion
Я обнаружил это, включив сохранение изображений и выполнив команду
on_picture_save echo $HOME >> /tmp/home.txt
в /etc/motion/motion.conf и просмотрев результат.
Помещение файлов.ssh в /var/lib/motion/.ssh/ позволило установить соединение.