Скрипт работает корректно сразу после первого запуска

Учитывая, что содержимое переменной аналогично упомянутому, чтение данных из 4-й строки $LINEявляется одним из решений. Это можно сделать так:

tail +4 <<< "$LINE"

Это печатает каждую строку с 4-й строки $LINEдо последней строки.

Если вы хотите, чтобы его результат использовался внутри while, лучше подойдет

while IFS= read -r; do echo $REPLY; done <<< "$(tail +4 <<< "$LINE")".