Думаю, наконец-то понял. Виновником была эта строка:
iptables -t nat -A POSTROUTING -p tcp -d 192.168.0.81 --dport 80 -j SNAT --to 192.168.0.129:80
Все заработало, когда я изменил его на это:
iptables -t nat -A POSTROUTING -p tcp -d 192.168.0.81 --dport 80 -j SNAT --to 192.168.0.129
Не знаю почему, но у меня смутное представление о том, что NAT использует порты для идентификации соединений.Таким образом, указание только одного порта приводило к конфликтам, когда было более 1 запроса.