Как я могу выполнять некоторые команды локально, одновременно выполняя скрипт удаленно через ssh, не прерывая соединения?

Я не уверен, что правильно понял.

У нас есть tee, которые отображают канал и регистрируют его в файле, поэтому вы можете использовать | tee log.file | pv |....

Или вы можете дублировать дескрипторы в оболочке и обрабатывать их по-разному.

В других случаях проще создать небольшой скрипт, который делает то, что вам нужно.