Напрямую нельзя. По крайней мере, не смешивая его со стандартным выводом или отказываясь от него. Однако есть способ!
#!/bin/bash
errorlog=$(mktemp)
trap 'rm -f "$errorlog"' EXIT
pwcheck="$(psql -q -U postgres -h $ip -d $database 2> "$errorlog")"
if [[ 0 -ne $? ]]; then
echo "Something went wrong; error log follows:"
cat "$errorlog"
fi