Домашний каталог для пользователей системы

Правило udev применяется к действию add по умолчанию. Правило udev действует на видеокарту, а не на монитор; поэтому оно запускается при добавлении видеокарты в систему, что на практике означает во время загрузки.

Подключение монитора приводит к действию change, а не add. Вы можете наблюдать это, выполнив udevadm monitor и подключив монитор. Поэтому в правиле udev должно быть указано действие change.

KERNEL=="card0", SUBSYSTEM=="drm", ACTION=="change", \
    ENV{DISPLAY}=":0", ENV{XAUTHORITY}="/var/run/gdm/auth-for-vazquez-OlbTje/database", RUN+="/usr/bin/arandr"

Примеры, найденные в Интернете, подтверждают мое понимание, например, codingtony, чей monitor-hotplug.sh скрипт может быть вам интересен.

Имя файла в /var/run меняется при каждой перезагрузке, поэтому вы должны определить его автоматически внутри вашего скрипта. Этот ответ должен помочь.