Для копирования файла с одного сервера на другой можно использовать следующую команду:
scp source_user@source_remote_host:/usr/bin/mysql_backup.sh \
target_user@target_remote_host:/var/tmp/
Ответ на мой вопрос пришел из раздела комментариев Стивена Харриса. Он заметил, что я запускаю скрипт от имени пользователя root, который будет записывать в любой файл независимо от того, есть права на запись или нет.