Комбинация sed и grep должна помочь. Примерно так:
sed '1,/Wed Nov 25 23:08:01 GMT 2015/d;/Wed Nov 25 23:59:24 GMT 2015/,$d' < file.txt | grep <yourstring>
Обратите внимание, что этот пример не будет включать строки, соответствующие датам, только все, что между ними.
Если носитель смонтирован, вы можете использовать «-x» или «--одну -файловую -систему» rsync в противном случае попробуйте
rsync -a --exclude=media /media/dave/DEE-NOW/#1AA-linuxmint19/RSYNC_SYS_BACKUP/